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domenica 10 luglio 2011

A proposito di Achille...


ACHILLE E LA TARTARUGA
ovvero... del paradosso di Zenone


Un giorno Achille detto il Pelide, il più grande e temuto fra i principi achei, se ne stava tranquillamente seduto sotto la sua tenda, in disparte dalla battaglia, quando vide passare una tartaruga.
“Non esiste al mondo un essere più lento di una tartaruga!” esclamò.
La tartaruga indispettita si fermò e lanciò ad Achille una sfida.
“E’ certo che se ti sfidassi in duello, Achille, non avrei scampo.” – disse la tartaruga – “Tu sei il più forte e il più valoroso fra i principi che muovono guerra alla città di Troia, ma sono sicura di riuscire a batterti in una gara di velocità.”
Achille scoppiò in una fragorosa risata a sentir quelle parole. “Vuoi dunque sfidare il valoroso Achille, detto piè veloce?” – disse ridendo – “Orbene, accetto la tua sfida e ti concederò un vantaggio considerevole, tanto sono certo della vittoria!”
“Poche storie – disse la tartaruga – si faccia la gara, e sono sicura che la vittoria sarà mia.”
Si prepararono a partire e quando la tartaruga iniziò a muoversi Achille le lasciò un vantaggio di qualche minuto prima di muoversi a sua volta.
La tartaruga procedeva alla sua solita velocità senza affannarsi più di tanto per il tragitto stabilito, mentre veloce ora Achille la inseguiva.
Chi sarebbe riuscito a vincere la gara?
Come potrebbe mai una tartaruga sperare di battere nientemeno che il grande e veloce Achille?
Oggi nessuno scommetterebbe sulla vittoria della tartaruga, ma se aveste fatto questa domanda a Zenone di Elea, matematico e filosofo vissuto in Grecia nel V secolo avanti Cristo, vi avrebbe risposto tranquillamente che Achille avrebbe perso la gara. Strano vero?


Il buon senso lascia pensare che Achille, ovviamente, prima o poi renderà nulla la sua distanza dalla tartaruga, certo... ma sapreste dimostrarlo? 
Il problema da un punto di vista puramente matematico ha impegnato filosofi e matematici per molto tempo e questa “paradossale” situazione ha preso il nome di "Paradosso di Zenone" .
Perché Zenone sosteneva che a vincere la gara sarebbe stata la tartaruga?
Cerchiamo di spiegarlo in modo semplice.
Immaginiamo che la distanza tra Achille e la tartaruga sia un numero intero, vale a dire che la distanza su cui gareggiarono era, per esempio di 100 metri.
E supponiamo che dopo il primo minuto Achille avrà ridotto la sua distanza ad 1/2 della distanza iniziale, cioè a 50 metri. Il minuto seguente sarà diventata 1/4 di quella iniziale, vale a dire 25 metri e poi 1/8... 1/16....1/32 e così via all'infinito riducendo sempre la distanza di un numero sempre più piccolo, quindi, ma mai uguale a 0.
Zenone in poche parole immaginava che la distanza fra Achille e la tartaruga, si dimezzasse ad ogni minuto in un numero sempre più piccolo, ma mai uguale a zero. In questo modo la tartaruga si troverebbe, anche se di pochissimo, sempre davanti ad Achille.
L'errore sta proprio qui.
Zenone credeva che la somma di infinite grandezze debba per forza dare una grandezza infinita. Ma come ci dimostra il calcolo infinitesimale non è sempre così...infatti: 1/2+1/4+1/8+1/16...= 1
 

La corsa di Achille e la tartaruga


Alla partenza Achille concede alla tartaruga un po’ di vantaggio ( AB ).
Quando Achille arriva al punto B , la tartaruga è arrivata al punto C.
Quando Achille arriva in C , la tartaruga arriva a D
Achille arriva a D , ma la tartaruga si è spostata in E.
La distanza tra Achille e la tartaruga diminuisce ogni volta ma…
Diventerà sempre più piccola.. infinitesimamente piccola … ma per quanto piccola Achille non raggiungerà mai la tartaruga...
ma....   noi sappiamo che è soltanto un Paradosso!!  
 

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